Uus geomeetria

Kõver ruum

20. sajandi geniaalne teadlane Albert Einstein ehitas füüsikalise ruumi mudeli, mille kohaselt ruumi piirkonna geomeetria on määratud selles piirkonnas sisalduva mateeriaga. Einsteini järgi ruum ei ole eukleidiline kast, mis on ükskõikne oma sisu suhtes, vaid mateeria olemasoluvorm -- ja vorm sõltub sisust ning muutub koos sellega. Paljud relativistlikud efektid lubavad meil otsustada, et ruum, milles me elame ei ole eukleidiline. See otsustus avab meie pilgule uue maailma, millesse suunavaks teeviidaks on Lobatshevski geomeetria.

Einsteini järgi on tasane ainult tühi ruum. Igasugune ruum, kus on kasvõi kübegi ainet, peab olema kõver, ja see kõverus on igal juhul positiivne.
Mida see tähendab? Aga seda, et niisugustes ruumides ei kehti Eukleidese geomeetria viies aksioom:
läbi sirgel mitte asuva punkti saab panna ühe ja ainult ühe antud sirgega paralleelse sirge.
Aksioomi saab rikkuda kahel viisil: lubades panna läbi punkti kuitahes palju paralleelseid sirgeid või siis keelates selle panemise üldse. Esimesel juhul saame negatiivse, teisel positiivse kõverusega ruumi.

Meie kujutlusvõime on seotud tavalise kolmemõõtmelise ruumi ja Eukleidese geomeetriaga. Seepärast ei suuda me ette kujutada kõveraid või kõrgema dimensiooniga ruume. Küll aga võime ette kujutada erineva kõverusega pindu tavalises ruumis. Negatiivse kõverusega on näiteks sadul ja pseudosfäär . Positiivse kõverusega on ellipsoid ja kõik tema sugulased. Kõige lihtsam neist on kera pind - sfäär .

Kuidas mõista seda, et kaks paralleelset sirget kusagil lõikuvad? See tundub ühele keskmisele inimesele täiesti absurdne väide, aga püüame ikka kuidagi sellest aimu saada.
Meie elame siin kolmemõõtmelises ruumis ja ei kujuta ette kõrgemamõõtmelisi ruume. Oletame, et on olemas mõistusega olendid, kes elavad kahemõõtmelises maailmas, näiteks sfääril, ja nemad ei kujuta ette kolmemõõtmelist ruumi.
Uurivad nad nüüd seal oma maailma geomeetrilist struktuuri -- sfääri sisegeomeetriat. Meile on kõrvalt, Jumala seisusest, vaadates selge, et sfäärilises maailmas ei ole sirgeid ja kõige sirgemateks joonteks seal on suurringjooned - jooned, mis tekivad sfääri lõikamisel tema keskpunkti läbiva tasandiga. Ka sfääril elav geomeeter selgitab suurema vaevata, missugused on tema maailma sirgeimad jooned. Kuid erinevalt meist ei saa tema oletadagi veel sirgemate olemasolu: tema jaoks suurringjooned ongi sirged. Meie näeme siit kolmemõõtmelisest ruumist, et nende kaks sirget igal juhul lõikuvad, olgu need nende arvates paralleelsed või mitte. Nende Eukleides aga esitab paralleelide aksioomi kõhklematult samasuguse, kui meil. Võtame kaks paralleelset sirget ja läheme ja läheme ja nad ei saa ju kokku!? Meie siit Jumala seisusest näeme küll, milles viga, aga nemad seal ruumis sees olles ei suuda seda mõista. Kui nüüd meie Jumal vaatab kõrgemast dimensioonist meie maailma, siis näeb temagi selle kõver olevat. Meie siin sees aga ei taju seda.

Positiivse kõverusega ruumil on veel omadus suurendada kõigi eemal olevate objektide mõõtmeid. Võrreldes gloobusel kahe meridiaani vahekaugust samasuguse tipunurgaga tasanurga haarade kaugusega näeme, et punktid sfääril asuvad üksteisele alati lähemal kui tasandi punktid (vt joonis A'B'<AB). See tähendab, et vaadates taevalaotusesse kõveras ruumis näeme seda veelgi tühjemana kui ta on. Tõsi küll, objektid paistavad jälle suurematena...
Tähtsaim positiivse kõverusega ruumi omadus on aga see, et tema ruumala on lõplik. Täpselt nagu sfääri pindalagi. Seega on meie maailmal olemas nii lõplik ruumala kui ka lõplik mass. [10;18 ]

Neljas mõõde

(Vaata ka uut materjali: http://art.tartu.ee/~illi/dimdid.pdf  ja  http://art.tartu.ee/~illi/flash/tesser2.swf )

Nagu eelpool kirjeldatud ei suuda me ette kujutada kõveraid või kõrgema dimensiooniga ruume. Kõverat ruumi vaatlesime ja nüüd proovime ka neljamõõtmelist ruumi uurida. Kõigepealt püüame leida neljamõõtmelise ruumi mõõtühiku nn. hüperkuubi. Mõttekäik on alljärgnev.

Ühemõõtmelise ruumi mõõtühikuks on lõik, mille saame fikseerida kahe punkti abil.

Neljast lõigust saame konstrueerida ruudu, mis on kahemõõtmelise ruumi mõõtühikuks.

Kuuest ruudust voldime kuubi, mis on kolmemõõtmelise ruumi mõõtühik.

Siit analoogiliselt jätkates saame kaheksast kuubist koosneva neljamõõtmelise ruumi mõõtühiku nn. kaheksapesa e. hüperkuubi.

Neljamõõtmelise ruumi mõõtühik ehk 4D kuup ehk hüperkuup ehk korrapärane kaheksapesa on tuntuim korrapärane neljamõõtmeline objekt. Tal on 8 pesa, 24 tahku, 32 serva ja 16 tippu. Analoogiliselt viiele platoonilisele kehale kolmemõõtmelises ruumis leidub neljamõõtmelises ruumis kuus korrapärast hulkpesa. Need on: 1) korrapärane viispesa ehk 4D simpleks, mis koosneb viiest tetraeedrist; 2) korrapärane kaheksapesa, mida kirjeldasime ülalpool ja mis koosneb kaheksast kuubist; 3) korrapärane kuusteistpesa, mis koosneb kuueteistkümnest tetraeedrist; 4) korrapärane kakskümmendnelipesa, mis koosneb kahekümne neljast oktaeedrist; 5) korrapärane sadakakskümmendpesa, mis koosneb sajakahekümnest dodekaeedrist; 6) korrapärane kuussadapesa, mis koosneb kuuesajast tetraeedrist.

Esimesed katsed korrapäraseid hulkpesi kujutada tegi William Stringham aastal 1880 ajakirjas "American Journal of Mathematics" ( vt DX ).

Ülalolevast said inspiratsiooni paljud kunstnikud ( vt näiteks DXX ), sealjuures nägemus objektidest neljamõõtmelises ruumis on aluseks kubistide töödele (vt DXXX ).