Et poolitada sirglõiku AB tõmbame tema kummagi otspunkti ümber kaare, mille raadius R oleks pikem kui pool sirglõigu enda pikkust. Kaarte ühispunkte C ja D läbiv sirge jaotab sirglõigu AB kaheks võrdseks osaks AK ja KB ning on ühtlasi tema keskristsirge.
Et konstrueerida antud sirgele a ristsirge läbi antud punkti M, tõmbame kõigepealt ümber punkti M vaba raadiusega R kaare, mis lõikab sirget a punktides A ja B. Raadiusega R1 (see peab olema pikem kui pool lõigust AB) tõmbame ümber punktide A ja B teineteisega punktis C lõikuvad kaared. Sirge, mis läbib punkte M ja C, ongi antud sirge a otsitav ristsirge.
Kui on vaja ehitada ristsirge antud lõigu a otspunktist A, joonestame väljaspool lõiku valitud punkti O ümber kaare, mille raadius R=OA ja mis lõikab antud lõiku veel üks kord punktis B. Läbi punktide B ja O tõmmatud sirge lõikab kaart punktis C. CA ongi antud lõigu A ristsirge, sest Thalese teoreemi järgi on diameetrile toetuv piirdenurk alati täisnurk.
Olgu tarvis sirgele a tõmmata paralleelsirge b, mis läbiks punkti M. Selleks tõmmatakse ümber punkti M vaba raadiusega R kaar, mis lõikab antud sirget a ja lõikepunktiks olgu A. Sama raadiusega R tõmbame ka ümber punkti A kaare, mis lõikab sirget a ja lõikepunktiks olgu B. Nüüd tõmbame sirklilaotusega R ümber punkti B kaare, mis lõikaks punktis varem joonestatud kaart ja lõikepunkti tähistame C-ga (oleme konstrueerinud rombi tipud). Punkte M ja C läbiv sirge b on antud sirgega a paralleelne.
Sirglõigu AB jaotamisel mistahes arvuks võrdseteks osadeks, näiteks neljaks osaks, tõmbame otspunktist B vaba, kaldega kiire. Sellele kiirele kanname alates punktist B mingi vabalt võetud pikkusega sirglõigu nii mitu korda, kui mitmeks osaks on vaja lõik AB jaotada. Järgmiseks ühendame kiirele kantud viimase jaotuspunkti 4 sirglõigu AB teise otspunktiga A. Seejärel tõmbame punktidest 3, 2 ja 1 paralleelid lõiguga 4A. Saadud punktid 1', 2' ja 3' jaotavadki sirglõigu AB neljaks võrdseks osaks (kiirteteoreem!).
Sirglõigu AB jaotamine kuldlõikes (vt ka sakraalgeomeetria) tähendab tema jagamist kahte ossa nii, et pikem osa KB suhtub tervesse lõiku AB, nagu lühem osa AK pikemasse osasse KB. Selleks ehitame kõigepealt täisnurkse kolmnurga, mille üheks kaatetiks on jaotatav lõik AB, teiseks kaatetiks pool AB-st. Ümber punkti C raadiusega R1 tõmmatav kaar annab hüpotenuusil punkti D. Järgmiseks tõmbame ümber punkti B kaare raadiusega R2. Selle kaare abil saadud punkt K jaotabki lõigu AB kuldlõikes.
Et nurka BAC poolitada, võib nurga kumbagi haara lõigata ümber nurga tipu A tõmmatava vaba raadiusega kaarega. Haaradel tekkivate punktide B ja C ümber ühe ja sama raadiusega R joonestatud kaared annavad omavahel lõikudes punkti M. Nurga tipust A tõmmatud sirge läbi punkti M jaotab nurga BAC kaheks võrdseks osaks.
Täisnurka BAC võib jaotada kolmeks võrdseks osaks vabalt võetud sirklilaotusega. Ümber täisnurga tipu A tõmmatud kaar annab haaradel punktid B ja C. Kui nüüd sama laotusega lõigata äsjasaadud kaart kord punktist B, kord punktist C tõmmatud kaarega, tekivad vastavalt punktid D ja E. Nurga tipust A läbi punktide D ja E suunatud kiired jaotavad täisnurga BAC kolmeks võrdseks osaks (võrdkülgse kolmnurga sisenurk on 60o).
Terav- või nürinurga jaotamisel mistahes arvuks võrdseteks osadeks täpne geomeetriline konstruktsioon puudub. Jaotatakse proovimise teel. Olgu tarvis jagada nürinurk BAC viieks võrdseks osaks. Selleks tõmmatakse ümber tipu A nurga haarasid lõikav vaba raadiusega kaar. Pärast seda võetakse sirklisse silma järgi 1/5 kaarest BC ja kantakse näiteks punktist C alates need jaotised kaarele. Kui viimane jaotuskriips ei satu punkti B, siis tuleb ülejääk (või puudujääk) jaotada omakorda viieks ning tehes paranduse (1/5 jäägist) lahutamist (liitmist) jaotuslõigu esialgsest(le) pikkusest(le) saame uue jaotuslõigu, mis peaks andma õige tulemuse.
Olgu tarvis antud nurk a üle kanda teise kohta. Selleks märgime uues kohas nurga tipu A1 ja joonestame ühe haara. Kui nüüd lõigata antud nurga a haarasid kaarega vaba raadiusega R, mille tsenter on A, tekivad tipust A lähtuvatel haaradel punktid B ja C. Sama raadiusega R tõmbame ka uue tipu A1 ümber kaare, mis lõikab juba eelnevalt joonestatud ühte haara punktis B1. Nüüd võtame sirklisse kaarele BC vastava kõõlu pikkuse r. Sellega tõmbame uue nurga haaral asuva tsentriga B1 kaare, mis lõikab eelnevalt raadiusega R joonestatud kaart. Lõikepunkti tähistame C1-ga. Uue nurga tipust A1 läbi punkti C1 suunatav kiir osutub uue nurga a1 puuduvaks haaraks. Niisuguse konstruktsiooniga on tagatud nurkade a ja a1 võrdsus (kolmnurkade võrdsuse tunnus KKK).
edasi